Der Lagrangeformalismus für die Minimierung unter Nebenbedingungen

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Die Lösungen der Minimumssuche (1) unter den Nebenbedingungen (2) (siehe "Die mathematische Formulierung der Aufgabenstellung") sind die Punkte, in denen der Gradient der zugehörigen Lagrangefunktion verschwindet:

   (3)

 

Darin sind  k, die sogenannten Lagrangemultiplikatoren. Im Rahmen des Lagrangeformalismus  werden diese zusammen mit den verbesserten Schätzwerten und den Hilfsgrößen aus der Bedingung für die Existenz eines lokalen Minimums bestimmt:

 

Es ergeben sich die folgenden Gleichungen

    (4)

                            (5)

                                                               (6)

                                                                (7)

Die Gleichungen (4 - 7) stellen ein nichtlineares Gleichungssystem für die Schätzwerte , die zugeordneten Hilfsgrößen y  sowie die Lagrangemultiplikatoren k, l dar. Durch Linearisierung des Gleichungssystems kann man eine Iterationsvorschrift für die Verbesserungen der Rohwerte ableiten, um letztendlich die Schätzwerte zu erhalten, die die Nebenbedingungen erfüllen. Dieses Vorgehen entspricht dem von der VDI 2048 vorgeschlagenen Verfahren