迭代程序的推导与对辅助（约束）条件处理的注释

 

为了推导迭代程序，线性化方程（4-7）。由于误差平方和的双线性结构和以及假定辅助变量  定义方程的导数矩阵可逆，可以从产生的方程中消除拉格朗日乘数。因此，迭代只发生在估计值的改进和辅助变量中。这也与 VDI 2048 中建议的方法一致。

这最终是经典牛顿方法的一个变体，用于约束条件下进行数值最小化。

为了线性化方程（4-7），确定 , ，其中  是第 i 个迭代步骤中的值。在最低阶中，将产生以下结果：

      (4a)

                                             (5a)

                             (6a)

                             (7a)

由于辅助变量的定义方程的可逆性，从方程（5a）中得到拉格朗日乘数之间的关联性

                                             (8)

 

可以将结果（8）带入方程（4a）中，产生以下结果：

 (9)

 

或者，由于  = ,  = + , 

 

      (9a)

为了简化符号，这里的转换函数矩阵  应定义为

         (10)

然后方程（9a）变成

                                (11)

应该注意的是，对于带  的第一个迭代步骤，方程（10）对应于 VDI 2048，表 1，方程（115），对导数矩阵进行了转换，以消除辅助变量。

从方程（7a）可以看出，由于辅助变量定义方程的可逆性，辅助变量的修正改进可以通过测量值的修正来确定：

                         (12)

将方程（12）带入方程（6a），得到

 (12a)

带入已经引入的转换函数矩阵  和相应定义的转换矛盾向量

                       (13)

方程（12a）变成

                                                                           (14)

经过经过转换消除辅助变量后，方程(14)对应于 VDI 2048，表 1 中的方程(112)。可以从方程(11)和(14)中消除拉格朗日乘数 k，以定义准则中提出的修正 ∆X。 

方程（11）的结果为

                                                             (15)

将方程（15）带入方程（14），确定拉格朗日乘数 k

                                         (16)

方程（16）可以再次用于方程（15），以最终确定修正 Dx：

   (17)

对于带  的第一个迭代步骤，这正好对应 VDI 2048，表 1，方程（120）给出的修正改进。如果没有方程（17）中对附加项 ,，这里描述的迭代程序将得到满足辅助（约束）条件的解，但不一定是误差平方和的最小值。这在附录 6.3 中用一个简单的例子说明。附加项确保能收敛到误差平方和的（局部）最小值。

综上所述，根据 VDI 2048 在辅助（约束）条件下最小化误差平方和，同时考虑到 Ebsilon 中应用的辅助（约束）变量，迭代程序由方程（10，13，17，12）给出:

 

  (18)